图1
图2
一、希腊最早发行毕氏定理邮票
1955年，希腊发行了一套数学邮票，其中一枚的图案由三个大小不同的棋盘排列而成，这就是毕达哥拉斯定理（又称“毕氏定理”或“勾股定理”）最直观、最形象的图形（图1）；还有一枚是毕达哥拉斯的坐像（图2）。此票是为了纪念2500年前毕达哥拉斯学派（下称“毕氏学派”）的成立以及在文化上的贡献而发行的。勾股定理是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理，被广泛应用于数学研究和生产实践中。给出直角三角形任何两边的长，便能够据此定理求出第三条边长。
世界上最早知道此定理距今已经有4000多年了，公元前2000多年巴比伦的一块泥版书上刻着一道数学题：“一根长度为30单位的棍子靠墙角直立，当其上端下滑6个单位时，其下端离开墙角有多远？”200年后的一块巴比伦的石板上，刻录了多组勾股数。这表明古巴比伦人早在4000多年前已经发现直角三角形三边长之间的比例关系，但都没有给出证明，是毕达哥拉斯最早给出科学的证明，并以数学公式表达出来。因此，作为毕达哥拉斯故乡的希腊，最先用国家名片表现这一著名而古老的数学定理，是最合适和顺理成章的事情。
二、毕氏定理的发现
图3
图4
图5
毕达哥拉斯（前580年—前500年），古希腊哲学家、数学家和音乐理论家，生于爱琴海中萨摩斯岛，即现希腊东部小岛（图3）的贵族家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。他早年曾游历埃及，后为了摆脱暴政而移居意大利南部城市克罗顿。他在那里建立了一个集政治、宗教、哲学和数学为一身的秘密团体。后在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害。但他的学派却继续存在了两个世纪之久。意大利画家拉婓尔的画作《雅典学院》表现了毕达哥拉斯在教授数学知识的情形（图4、5）。
图6
图7
图8
图9
图10
图11
图12
相传毕达哥拉斯有一次见到朋友家用砖铺成的地面图案，似乎反映了直角三角形三边的某种数量关系，仔细观看后他惊奇地发现：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。这就是毕氏定理的准确表述。用公式表示为：a2+b2=c2（图6）,或A2+B2=C2（图7）。这一定理最先是如何被发现的，已无从考证，但是第一个给出证明的人是毕达哥拉斯，却是毫无疑问的，这是此定理以他名字命名的原因。据说定理证明成功的当天，毕达哥拉斯欣喜若狂，让学生们宰杀了100头牛，举行盛大的宴会来庆贺。因此，毕氏定理又称“百牛定理”。继希腊之后，又有一些国家将毕氏定理表现在方寸上。苏里南（图8）、圣马力诺（图9）、日本（图10）和韩国（图11）等都发行了毕氏定理邮票；以色列邮票上方就是毕氏定理的公式（图12）。
三、关于毕氏定理的证明
其实中国也是最早知道勾股定理的国家之一，早在3000多年前(约公元前1120年），周朝数学家商高在与周公的谈话中就提出，将一根直尺折成一个直角三角形：“勾广三、股修四、弦隅五”，被记载于《周髀算经》中，后来人们习惯地称为“勾三股四弦五”。三国时期吴国数学家赵爽，绘制了一幅“炫图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的证明。中国2002年发行的国际数学家大会纪念邮资片，邮资图就是赵爽的“炫图”（图13），左下方的装饰图叫“勾股圆方图”（图14）。
图15
图16
图17
毕达哥拉斯对勾股定理的证明早已失传，后来欧几里得在《几何原本》中予以记载并给出了一个证明，此书的《命题Ⅰ.47》将其表述为：“在直角三角形中，以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和”，这与“两直角边的平方和等于斜边的平方”是一个意思。书中有证明过程和图解，并首次称它为“毕达哥拉斯定理”。欧几里得是欧氏几何的创始人和集大成者，对毕氏定理的贡献不可小觑（图15）。中国在1607年, 由徐光启（图16）和意大利传教士利玛窦（图17）合译并在北京出版了《几何原本》前六卷, 其中就包含了上述勾股定理及其证明过程。此书首次将欧几里得的《原本》定名为《几何原本》（中文版），中文数学名词“几何”便由此而来。
图19
勾股定理的发现引起无数人的兴趣，古今中外有许多人试图探索其证明方法，据说此定理的证明方法有500多种，路明思的《毕氏定理》一书，就收集了367种。这种现象在数学史上极为罕见，它从一个侧面说明此定理具有广泛的影响力。参与证明这一定理的不仅仅是数学家，还有画家、政治家也乐此不疲地投入研究，大画家达·芬奇就是其中之一（图18），他白天作画，夜晚科研，居然也给出了毕氏定理的证明。出于好奇，美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德（图19）也加入证明毕氏定理的行列。他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明, 目前八年级数学教科书上把它作为练习题。
第四、毕氏定理引发第一次数学危机
图20
毕氏学派坚信“万物皆数”，“宇宙间的一切现象都归结为整数或整数比”是为这个学派的数学信仰。然而，令他们意想不到的是，由毕达哥拉斯建立的毕氏定理却成了毕氏学派数学信仰的“掘墓人”。毕氏定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯提出了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少（图20）？他发现这一长度既不能用整数、也不能用分数表示，只能用一个新数表示，这就违背了毕氏学派所奉行的“万物皆数”的信条。当然，我们现在知道，如果两直角边都是1，那么斜边的长度就是2的平方根，即1.414213562…，是一个无限不循环小数，因此是一个无理数。不过当时还没有这些概念，毕氏学派把这个“奇怪”的数字视为怪物，规定任何人都不准泄露存在这个数的秘密。不仅如此，他们还把发现这个数的希帕索斯囚禁起来，后来干脆把他抛入大海淹死了。
尽管毕氏学派严格保密，但后来还是被外界知道了，在当时数学界掀起了巨大的震荡，给毕氏学派以致命打击。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生，这一后来被称为“希帕索斯悖论”的结论表现在它与常识的冲突上：任何量，在所有精确度的范围内都可以表示为有理数。但是一直很“正确”的论断居然被小小的给颠覆了！面对这一“荒谬”和不可思议的事情，人们毫无办法，直接导致了世界上第一次数学危机的发生。
图21
图22
图23
图24
事实上，数学领域的无理数远不止一个，还有后来陆续发现的圆周率π（图21、22）、自然对数的底e（图23）和黄金分割数（图24）等，它们的数值分别为3.141592…、2.71828…和0.61803…。第一次数学危机，是以被毕氏学派发现为开端，包括后来π、e、等无理数的发现而引发的。
其实，“希帕索斯悖论”的提出和第一次数学危机的发生，并非坏事，它极大地促进了数学的发展，是对数学的重大贡献。它让人们懂得了，世界上不仅仅存在能够用整数和分数准确表达的“数”，还存在所谓“不可度量的数”，前者叫有理数，后者叫无理数。
图25
危机一直延续到19世纪，1872年, 德国数学家戴德金从连续性的要求出发, 用有理数的“分割”来定义无理数, 并把实数理论建立在严格的科学基础上, 即在实数范围内，既包含有理数，也包含无理数。从而结束了数学史上持续2000多年的一桩公案，化解了危机，为数学的发展做出了历史性的贡献（图25）。
第五，毕氏定理催生了著名的费马大定理
图26
大约在1637年前后，法国数学家费马在研究毕氏定理时，写下一个非常类似的方程：xn+yn=zn，然后他写道：“当n大于2时，这个方程没有任何整数解。”费马在《算术》这本书靠近“问题8”的页边处记下这个结论，同时又写下一句话：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理（图26）。
图27
图28
关于费马大定理, 在过去300多年里, 包括一些顶尖的著名数学家欧拉、高斯、柯西等在内的许多数学家都力图去证明它, 但都未能成功，有的只能证明当 n=3、4、5、7时定理成立。二战后，人们借助计算机证明了：当n≦4100万时, 费马大定理是正确的。但是，这种成就具有很大的局限性，即使证明n的数值再大一万倍、一亿倍, 也永远不能证明到无穷大, 不能宣称定理已经证明。直到1995年, 美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯经过八年奋战，用130页长的篇幅才完整证明了费马大定理，终于使这一著名大定理的证明画上圆满的句号。图27是比利时2000年“国家数学年”邮票，其图案就包含费马大定理方程。图28是捷克2008年邮票，票图有两行文字，即“1670年费马提出他的定理”（白色）和“1995年怀尔斯证明了这个定理”（红色）。1997年，安德鲁·怀尔斯获得了德国专门为费马大定理的证明而设立的沃尔夫斯克尔奖。
